Covid-19在比利时

Antoine Soetewey 2020-03-31 24 minute read

介绍

新的Covid-19冠状病毒仍然在几个国家仍然迅速蔓延,它似乎并不像在许多国家尚未达到的巅峰时会很快停止。

自扩建开始以来,世界各地的大量科学家已经从不同的角度分析了这种冠状病毒,并具有不同的技术,希望能够解决治愈,以阻止其扩张并限制其对公民的影响。

新冠病毒上的顶级资源

与此同时,流行病学家,统计学家和数据科学家正在努力更好地了解病毒的传播,以帮助政府和卫生机构采取最佳决策。这导致出版关于病毒的大量在线资源,我在涵盖的文章中收集和组织 新冠病毒上的顶级资源。本文是我有机会发现的最佳资源的集合,为每个人都有一个简短的摘要。它包括闪亮的应用程序,仪表板,R包,博客文章和数据集。

出版这一系列带领许多读者提交他们的工作岗位,这使得这篇文章使文章更加完整,更有洞察力,对于从定量的角度分析病毒的任何人。感谢各位贡献的人,并帮助我收集和总结这些R资源的Covid-19!

鉴于我的专业领域,我无法从医疗角度帮助这种斗争。但是,我仍然想要尽可能多地贡献。从理解更好的疾病将科学家和医生共同建立更大,更有影响,我真的希望这个系列将在很小程度上帮助战斗大流行。

新冠病毒仪表板为您自己的国家

除了从世界各地的人们接受分析,博客帖子,R码和闪亮的应用外,我意识到许多人试图创建一个仪表板跟踪他们自己的国家的冠状动脉的传播。因此,除了收集Top R资源之外,我还发布了一篇文章,详细介绍了遵循的步骤,以创建特定于国家/地区的仪表板。看看如何在此创建此类仪表板 文章与比利时的例子.

该代码已在GitHub上提供,是开源,因此每个人都可以复制并将其调整到自己的国家。仪表板故意保持简单,所以R中有最小知识的人可以轻松复制它,先进的用户可以根据其需求来增强它。

文章的动机,限制和结构

通过看到和组织许多人 关于Covid-19的资源,我很幸运能够阅读大量对疾病爆发的优秀分析,不同的健康措施的影响,对案件数量的预测,关于大流行,医院容量等的预测。

此外,我必须承认,一些国家,如中国,韩国,意大利,西班牙,英国和德国,如这些国家的分析数量所示,都会受到很大的关注。但是,在我的知识和本文的出版日期之前,我不知道对比利时专门对冠状病毒的传播进行分析。 1 本条旨在填补这种差距。

在我的统计博士学论文中,我的主要研究兴趣是关于癌症患者的生存分析(我的研究部分中的更多信息 个人网站)。我不是流行病学家,我在通过流行病学模型上没有广泛的疾病爆发。

我通常只写下我认为自己熟悉的东西的文章 统计数据 及其应用程序 R。在撰写本文时,比利时代理对此病毒的传播时,我感到好奇,我想玩这种数据在r(对我来说是新的),看看出了什么。

为了满足我的好奇心而不是专家,在本文中,我将通过更知识渊博的人进行复制分析,并将其应用于我的国家,即比利时。到目前为止,我读到了所有的分析,我决定通过蒂姆教堂和霍尔格K.Von Jouanne-diedrich博士的分析来复制分析。本文基于其文章的组合,可以找到 这里这里。他们对如何模拟冠状病毒的爆发并表明它是多大信息分析。他们的文章也允许我了解对该主题的理解,特别是对最常见的流行病学模型的理解。我强烈建议有兴趣的读者也读他们的 最近的文章 对于更高级的分析和更深入地了解Covid-19大流行的传播。

更多更多 复杂分析 甚至是优选的,但我将此留给了这一领域的专家。另请注意,以下分析仅考虑到本文发布日期之前的数据,因此默认情况下,应不会被视为当前调查结果。

在剩下的文章中,我们首先介绍了该模型,用于分析比利时的冠状病毒爆发。我们还简要讨论和展示如何计算重要的流行病学措施,再生数。然后,我们使用模型来分析疾病的爆发,在没有公共卫生干预的情况下。我们通过总结了更高级的工具和技术来结束了这些文章,这些技术可以用于比利时进一步模范Covid-19。

比利时冠状病毒的分析

经典流行病学模型: 先生 model

在潜入真实应用程序之前,我们首先介绍将使用的模型。

有许多流行病学模型,但我们将使用最常见的一个, 先生 model。这 先生 模型可以复杂化以纳入更多的病毒爆发特异性,但在本文中,我们将保持最简单的版本。蒂姆教堂的解释是对这个模型的解释以及如何使用R非常好,我将在这里重现一些微小的变化。

背后的基本想法 先生 模型 (S可容易 - Infectious - Recofered)传染病爆发的是,个人有三组(也称为隔间):

  • S:那些健康但易患这种疾病的人(即,有受污染的风险)。在大流行的开始, S 是由于没有人对病毒免疫的整个人口。
  • I:传染病(和因此,感染)的人
  • R:被污染但恢复或死亡的人。他们不再发生传染性。

随着病毒在人口的进展情况下,这些组随着时间的推移而发展:

  • S 当个体被污染并转向传染性群体时减少 I
  • 随着人们恢复或死亡,他们来自受感染的群体 I 回收的团体 R

为了模拟爆发的动态,我们需要三个微分方程来描述每个组的变化率,参数化:

  • \(\ beta \),感染率,控制之间的过渡 SI
  • \(\ gamma \),删除或恢复率,可控制之间的过渡 IR

正式,这给了:

\ [\ frac {ds} {dt} = - \ frac {\ beta是} {n} \ text {(eq.1)} \]

\ [\ frac {di} {dt} = \ frac {\ beta是} {n} - \ gamma i \ text {(eq.2)} \]

\ [\ frac {dr} {dt} = \ gamma i \ text {(eq.3)} \]

第一个等式(EQ.1)指出易感人数(S)随着新感染的个体的数量减少,其中新的受感染病例是感染率的结果(\(\ beta \))乘以易感个体的数量(S)谁与传染性人有联系(I)。

第二个等式(EQ.2)指出传染性人数(I)随着新感染的个体增加(\(\ beta i s \))减去以前感染的人(即, \(\ gamma i \) 这是去除率 \(\ gamma \) 乘以传染性的人 I)。

最后,最后一个等式(EQ.3)指出恢复的群体(R)随着传染性的人数和恢复或死亡的人数增加(\(\ gamma i \))。

流行病发展如下:

  1. 在疾病开始之前爆发, S 等于整个人口,因为没有人有防弹。
  2. 在爆发开始时,一旦第一个人被感染, S 减少1和 I 增加1。
  3. 这种传染性的个体污染(在恢复或染色之前)其他易感的人。
  4. 动态继续,最近受到污染的个体,又在他们恢复之前感染了其他敏感的人。

在视觉上,我们有:

先生模型。资料来源:凯萨卡基。

在拟合之前 先生 模型到数据,第一步是将这些微分方程表达为R功能,相对于时间 t.

先生 <- function(time, state, parameters) {
  par <- as.list(c(state, parameters))
  with(par, {
    dS <- -beta * I * S / N
    dI <- beta * I * S / N - gamma * I
    dR <- gamma * I
    list(c(dS, dI, dR))
  })
}

适合A. 先生 模型到比利时数据

要将模型适应数据,我们需要两件事:

  1. 这些微分方程的求解器
  2. 最优化器找到我们两个未知参数的最佳值, \(\ beta \)\(\ gamma \)

The function ode() (for ordinary differential equations) from the {deSolve} r包 makes solving the system of equations easy, and to find the optimal values for the parameters we wish to estimate, we can just use the optim() function built into base R.

具体来说,我们需要做的是最小化平方差之间的总和 \(它)\),这是传染性舱中的人数 \(一世\) 当时 \(t \),以及我们模型预测的相应案例 \(\ hat {i}(t)\)。该数量被称为剩余平方和(rss.):

\ [rss(\ beta,\ gamma)= \ sum_t \ big(i(t) - \ hat {i}(t)\ big)^ 2 \]

为了适应比利时的发病数据模型,我们需要一个值 N 对于最初的未感染人口。据此,比利时人口为11,515,793人,据 维基百科。因此我们将使用 n = 11515793. 作为最初的未感染人口。

接下来,我们需要创建一个带有比利时每日累计发行的向量,从2月4日(当我们的日常发病数据开始时)到3月30日(本文出版时的最后一次可用日期)。然后我们将与预测的发病率进行比较 先生 自2月4日以来的实际发病率适合这些数据的模型。我们还需要初始化价值 N, S, IR。注意,比利时的每日累积发病率从中提取 {coronavirus} R package 由Rami Krispin开发。

# devtools::install_github("RamiKrispin/coronavirus")
library(coronavirus)
data(coronavirus)

`%>%` <- magrittr::`%>%`

# extract the cumulative incidence
df <- coronavirus %>%
  dplyr::filter(country == "Belgium") %>%
  dplyr::group_by(date, type) %>%
  dplyr::summarise(total = sum(cases, na.rm = TRUE)) %>%
  tidyr::pivot_wider(
    names_from = type,
    values_from = total
  ) %>%
  dplyr::arrange(date) %>%
  dplyr::ungroup() %>%
  dplyr::mutate(active = confirmed - death - recovered) %>%
  dplyr::mutate(
    confirmed_cum = cumsum(confirmed),
    death_cum = cumsum(death),
    recovered_cum = cumsum(recovered),
    active_cum = cumsum(active)
  )

# put the daily cumulative incidence numbers for Belgium from
# Feb 4 to March 30 into a vector called Infected
library(lubridate)

sir_start_date <- "2020-02-04"
sir_end_date <- "2020-03-30"

Infected <- subset(df, date >= ymd(sir_start_date) & date <= ymd(sir_end_date))$active_cum

# Create an incrementing Day vector the same length as our
# cases vector
Day <- 1:(length(Infected))

# now specify initial values for N, S, I and R
N <- 11515793
init <- c(
  S = N - Infected[1],
  I = Infected[1],
  R = 0
)

请注意,所需的是当前受感染者(累积感染减去除去),即恢复或死亡)。然而,由于偏压较高,恢复人数难以获得,并且可能低估。因此,我认为 累积 感染者的数量,这可能不是这里的问题,因为在分析时恢复的案件的数量可以忽略不计。

然后我们需要定义一个计算的函数来计算 rss.,给定一组价值 \(\ beta \)\(\ gamma \).

# define a function to calculate the residual sum of squares
# (RSS), passing in parameters beta and gamma that are to be
# optimised for the best fit to the incidence data
RSS <- function(parameters) {
  names(parameters) <- c("beta", "gamma")
  out <- ode(y = init, times = Day, func = SIR, parms = parameters)
  fit <- out[, 3]
  sum((Infected - fit)^2)
}

最后,我们可以适应 先生 通过查找值来显示我们的数据 \(\ beta \)\(\ gamma \) 这最小化了观察到的累积发病率(在比利时观察到)之间的剩余平方和,以及预测的累积发病率(预测到我们的模型)。我们还需要检查我们的模型是否融合,如下所示的消息所示:

# now find the values of beta and gamma that give the
# smallest RSS, which represents the best fit to the data.
# Start with values of 0.5 for each, and constrain them to
# the interval 0 to 1.0

# install.packages("deSolve")
library(deSolve)

Opt <- optim(c(0.5, 0.5),
  RSS,
  method = "L-BFGS-B",
  lower = c(0, 0),
  upper = c(1, 1)
)

# check for convergence
Opt$message
## [1] "CONVERGENCE: REL_REDUCTION_OF_F <= FACTR*EPSMCH"

收敛确认。请注意,对于初始值或约束的不同选择,您可能会找到不同的估计。这证明了拟合过程不稳定。这是一个潜力 解决方案 为了更好的拟合过程。

现在我们可以检查合适的值 \(\ beta \)\(\ gamma \):

Opt_par <- setNames(Opt$par, c("beta", "gamma"))
Opt_par
##      beta     gamma 
## 0.5841185 0.4158816

请记住 \(\ beta \) 控制之间的过渡 SI (即,易感和传染性)和 \(\ gamma \) 控制之间的过渡 IR (即,传染性和恢复)。然而,这些价值观并不意味着很多,但我们使用它们来获得我们的每个舱室里的装备数量的人 先生 用于3月30日的日期模型用于拟合模型,并将那些使用观察到的(Real)数据进行比较。

# time in days for predictions
t <- 1:as.integer(ymd(sir_end_date) + 1 - ymd(sir_start_date))

# get the fitted values from our SIR model
fitted_cumulative_incidence <- data.frame(ode(
  y = init, times = t,
  func = SIR, parms = Opt_par
))

# add a Date column and the observed incidence data
library(dplyr)
fitted_cumulative_incidence <- fitted_cumulative_incidence %>%
  mutate(
    Date = ymd(sir_start_date) + days(t - 1),
    Country = "Belgium",
    cumulative_incident_cases = Infected
  )

# plot the data
library(ggplot2)
fitted_cumulative_incidence %>%
  ggplot(aes(x = Date)) +
  geom_line(aes(y = I), colour = "red") +
  geom_point(aes(y = cumulative_incident_cases), colour = "blue") +
  labs(
    y = "Cumulative incidence",
    title= "COVID-19 fitted vs observed cumulative incidence, Belgium",
    subtitle= "(Red = fitted from SIR model, blue = observed)"
  ) +
  theme_minimal()

从上面的图表来看,我们看到观察到的确认案件的数量遵循(不幸的是)我们模型预期的确认案件的数量。两个趋势都重叠的事实表明大流行显然是比利时指数阶段。需要更多数据来查看这一趋势是长期确认。

以下图类似于前一个图形,除了 y-AXIS在日志比例上测量。这种绘图被称为半志曲线图或更准确地是对数线性图,因为只有 y-AXIS以对数刻度转换。在日志中转换规模具有以下优点,即在观察到和预期的确认情况之间的差异方面更容易读取,并且还显示观察到的确认病例的数量如何与指数趋势不同。

fitted_cumulative_incidence %>%
  ggplot(aes(x = Date)) +
  geom_line(aes(y = I), colour = "red") +
  geom_point(aes(y = cumulative_incident_cases), colour = "blue") +
  labs(
    y = "Cumulative incidence",
    title= "COVID-19 fitted vs observed cumulative incidence, Belgium",
    subtitle= "(Red = fitted from SIR model, blue = observed)"
  ) +
  theme_minimal() +
  scale_y_log10(labels = scales::comma)

该情节表明,在大流行的开始和3月12日之前,确认案件的数量低于指数阶段预期的内容。特别是,确认案件的数量在2月4日至2月29日之前保持不变。从3月13日到3月30日,确认案件的数量按照指数率的速度保持增加。

我们还注意到3月12日至3月13日之间的一个小跳跃,这可能会在数据收集中指示错误,或者测试/筛选方法的变化。

再现号码 \(r_0 \)

我们的 先生 模型看起来很适合比利时观察到的累积发病率数据,所以我们现在可以使用我们的拟合模型来计算基本的再现号码 \(r_0 \),也称为基本的再现比,并与之密切相关 \(\ beta \)\(\ gamma \).2

基本再现号码 \(r_0 \) 给出所有受感染者感染的易感人数的平均数量,所有人都易感染。换句话说,再现号是指受到每位病人感染的健康人数。什么时候 \(r_0.> 1\) 疾病开始在人口中蔓延,但不是如果 \(r_0.< 1\)。通常,值越大 \(r_0 \),控制疫情越越高,大流行的概率越高。

正式,我们有:

\ [r_0 = \ frac {\ beta} {\ gamma} \]

我们可以在R中计算它:

Opt_par
##      beta     gamma 
## 0.5841185 0.4158816
R0 <- as.numeric(Opt_par[1] / Opt_par[2])
R0
## [1] 1.404531

一个 \(r_0 \) 1.4的低于Covid-19的其他人发现的价值观 \(r_0 \) 对于SARS和MERS,这是冠状病毒也引起的类似疾病。此外,在文献中,据估计,Covid-19的再现号约为2.7(有 \(\ beta \) 接近0.54和 \(\ gamma \) 接近0.2)。我们的再现号码较低主要是由于确认案件的数量保持不变并且在大流行开始时等于1。

A \(r_0 \) 1.4意味着,平均在比利时,1.4人对每个受感染者感染。

对于简单的模型,需要有效免疫的人口的比例,以防止疾病的持续蔓延,称为“畜群免疫阈值”,必须大于 \(1 - \ frac {1} {r_0} \) (精致,Eames和Heymann 2011).

我们刚刚计算的再现数量为1.4,鉴于公式1 - (1 / 1.4),应免疫28.8%的人口以阻止感染的传播。比利时人口约为1150万,这意味着大约330万人。

如果没有干预,使用我们的模型分析爆发

使用我们的模型适用于比利时确认案件的可用数据的第一个56天的模型是有意义的,看看如果遗漏留下往往的课程,没有公共卫生干预,那么就会发生什么。

# time in days for predictions
t <- 1:120

# get the fitted values from our SIR model
fitted_cumulative_incidence <- data.frame(ode(
  y = init, times = t,
  func = SIR, parms = Opt_par
))

# add a Date column and join the observed incidence data
fitted_cumulative_incidence <- fitted_cumulative_incidence %>%
  mutate(
    Date = ymd(sir_start_date) + days(t - 1),
    Country = "Belgium",
    cumulative_incident_cases = c(Infected, rep(NA, length(t) - length(Infected)))
  )

# plot the data
fitted_cumulative_incidence %>%
  ggplot(aes(x = Date)) +
  geom_line(aes(y = I), colour = "red") +
  geom_line(aes(y = S), colour = "black") +
  geom_line(aes(y = R), colour = "green") +
  geom_point(aes(y = cumulative_incident_cases),
    colour = "blue"
  ) +
  scale_y_continuous(labels = scales::comma) +
  labs(y = "Persons", title= "COVID-19 fitted vs observed cumulative incidence, Belgium") +
  scale_colour_manual(name = "", values = c(
    red = "red", black = "black",
    green = "green", blue = "blue"
  ), labels = c(
    "Susceptible",
    "Recovered", "Observed", "Infectious"
  )) +
  theme_minimal()

用于日志比例的相同图表 y-AXIS和传奇以获得更好的可读性:

# plot the data
fitted_cumulative_incidence %>%
  ggplot(aes(x = Date)) +
  geom_line(aes(y = I, colour = "red")) +
  geom_line(aes(y = S, colour = "black")) +
  geom_line(aes(y = R, colour = "green")) +
  geom_point(aes(y = cumulative_incident_cases, colour = "blue")) +
  scale_y_log10(labels = scales::comma) +
  labs(
    y = "Persons",
    title= "COVID-19 fitted vs observed cumulative incidence, Belgium"
  ) +
  scale_colour_manual(
    name = "",
    values = c(red = "red", black = "black", green = "green", blue = "blue"),
    labels = c("Susceptible", "Observed", "Recovered", "Infectious")
  ) +
  theme_minimal()

更多摘要统计数据

可以从模型的适合计算其他有趣的统计数据。例如:

  • 大流行的巅峰
  • 严重案件的数量
  • 需要重症监护人数的人数
  • 死亡人数
fit <- fitted_cumulative_incidence

# peak of pandemic
fit[fit$I == max(fit$I), c("Date", "I")]
##          Date        I
## 89 2020-05-02 531000.4
# severe cases
max_infected <- max(fit$I)
max_infected * 0.2
## [1] 106200.1
# cases with need for intensive care
max_infected * 0.06
## [1] 31860.03
# deaths with supposed 4.5% fatality rate
max_infected * 0.045
## [1] 23895.02

鉴于这些预测,具有完全相同的设置和无干预,完全限制了大流行的传播,比利时的峰值预计将达到5月初。大约530,000人将被当时感染到大约106,000人的严重案件,约有32,000人需要重症监护(鉴于比利时大约有2000个强烈的护理单位,卫生部门将完全不堪重负)和高达24,000死亡(假设死亡率为4.5%,如此) 来源)。

此时,我们理解为什么在比利时采取了这种严格的遏制措施和法规!

请注意,这些预测应谨慎地进行。一方面,如上所述,它们基于相当不切实际的假设(例如,没有公共卫生干预,固定的再现号码 \(r_0 \), etc.). More advanced projections are possible with the {projections} package, among others (see this 部分 有关此事的更多信息)。另一方面,我们仍然必须要小心,严格遵循公共卫生干预措施,因为之前的PANNEMIC等西班牙语和猪流感已经表明,令人难以置信的高数不是不可能的!

本文的目的是阐述这种分析如何用简单的流行病学模型进行r。这些是我们简单的模型产生的数字,我们希望他们是错误的,因为生活方面的成本将是巨大的。

其他考虑因素

如前所述, 先生 模型和上述分析是相当简单的,可能不会给出现实的真正代表性。在以下部分中,我们突出了五种改进,以提高这些分析,并导致比利时冠状病毒的传播更好地概述。

确定率

在先前的分析和图表中,假设确认情况的数量代表了传染性的所有病例。这远远不仅仅是在官方数据中筛查,检测到和计算所有案例的比例。该比例被称为确定率。

在爆发过程中,确定率可能会有所不同,特别是如果测试和筛选努力增加,或者如果改变检测方法。这种改变的确定速率可以通过使用入射案例的加权功能轻松地结合到模型中。

在他的第一个 文章,蒂姆教会表明,固定的确定率为20%的差异对没有干预的模型爆发的差异,除了它一切都更快地发生了一点。

更复杂的模型

更复杂的模型也可以用于更好地反映现实生活中的传输过程。例如,疾病爆发的另一个古典模型是 塞维斯 模型。这个扩展模型类似于 先生 模型,在哪里 S 代表 S可容易和 R 代表 REcovered,但受感染的人分为两个隔间:

  1. E 为了 Exposed / cenced但无症状
  2. I 为了 Infected和症状

这些模型属于假设固定过渡速率的连续时间动态模型。还有其他随机模型,可根据个人,社交网络等的属性来实现不同的过渡率。

使用逻辑线性模型建模流行病轨迹

如上所述,爆发的初始指数阶段,当在对数线性图中所示时( y-AXIS在日志比例和 x-AXIS没有转换),出现(有点)线性。这表明我们可以使用形式的简单的日志线性模型模拟流行性增长和衰减:

\ [log(y)= RT + B \]

在哪里 y 是发病率, r 是增长率, t 是自特定时间点(通常是爆发的开始)以来的天数,以及 b 是拦截。在此上下文中,两个日志线性模型:

  1. 一个到生长阶段(在峰之前),和
  2. 一个到衰变阶段(峰之后)

适用于流行病(发病率)曲线。

可以从这些日志线性模型估算新闻中经常在新闻中听到的倍增时间估计。此外,这些日志线性模型也可以用于流行病轨迹以估计再现号码 \(r_0 \) 在流行病的生长和衰减阶段。

The {incidence} package in R, part of the r流行病集团(reck) 流行性建模和控制套件套件,使这种模型的配件非常方便。

估算有效再现数的变化 \(回覆\)

在我们的模型中,我们设置了一个再现号码 \(r_0 \) 并保持不变。尽管如此,估计当前有效的再现数量是有用的 \(回覆\) 在一天中,以跟踪公共卫生干预的有效性,并且可能预测发生率曲线将开始减少。

The {EpiEstim} package in R can be used to estimate \(回覆\) 除了当地传输之外,还允许考虑到其他地理区域的人类旅行 (Cori等人。 2013; Thompson等人。 2019).

更复杂的预测

除了基于简单的天真预测 先生 model, more advanced and complex projections are also possible, notably, with the {projections} package. This packages uses data on daily incidence, the serial interval and the reproduction number to simulate plausible epidemic trajectories and project future incidence.

结论

本文始于(i)对冠状病毒大流行(即,a)的几个R资源的描述 收藏 A. 仪表板)可以用作背景材料和(ii)本文背后的动机。然后我们详细介绍了最常见的流行病学模型,即 先生 模型,在实际应用于比利时发病数据之前。

这导致了比利时安装和观察到的累积发病率的视觉比较。它表明,在确认病例的数量方面,Covid-19大流行显然是比利时指数阶段。

然后,我们解释了重复数量和如何在R中计算它。最后,如果没有公共卫生干预,我们的模型用于分析冠状病毒的爆发。

在此(可能也是)简单的情况下,比利时Covid-19的峰值预计将于2020年5月初到达,受到约530,000名感染者和约24,000人死亡。这些非常危剧主义的幽灵预测突显了政府采取的限制性公共卫生行动的重要性,以及公民遵循这些健康行动的紧迫性,以减轻比利时病毒的蔓延(或至少慢慢允许医疗保健系统应对它)。

我们通过描述五项改进来结束本文,以便进一步分析疾病爆发。

请注意,本文已受到a 讲话 at UCLouvain.

谢谢阅读。我希望这篇文章能够了解比利时Covid-19 Coronavirus的传播。随意使用本文作为分析自己国家疾病爆发的起点。

对于感兴趣的读者,请参阅:

一如既往,如果您有问题或与本文所涵盖的主题相关的建议,请将其添加为评论,以便其他读者可以从讨论中受益。

参考

Cori,Anne,Neil M Ferguson,Christophe Fraser和Simon Cauchemez。 2013年。“一个新的框架和软件,用于在流行病中估算时变的再现号码。” 美国流行病学杂志 178 (9): 1505–12.

罚款,保罗,肯eames和david l heymann。 2011.“畜群免疫力”:粗略指南。“ 临床传染病 52 (7): 911–16.

Thompson,RN,Je Stockwin,Rd Van Gaalen,JA Polonsky,Zn Kamvar,Pa Demarsh,E Dahlqwist等。 2019年。“在传染病爆发期间改善了时变繁殖数的推理。” 流行病 29: 100356.


  1. 随意让我知道评论或通过 联系我 如果您对比利时进行了一些专门的分析,我可以在我的文章中包含涵盖的文章 新冠病毒上的顶级资源.↩︎

  2. more 笔记 如果您需要更深入的理解,詹姆斯霍尔·琼斯的再现号码。↩︎



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